Einleitung
1. Herleiten und Anwenden von Formeln
a) Flächeninhalt von Dreiecken (7. Schulstufe)
b) Der Flächeninhalt des Parallelogramms (7. Schulstufe)
c) Erarbeitung der Flächeninhaltsformel für den Kreis (8. Schulstufe)
d) Oberflächenformel des Drehzylinders (8. Schulstufe)
2. Lehrausgänge im Mathematikunterricht
a) Wie hoch ist der Linzer Dom? (6. Schulstufe)
b) Wie breit ist die Donau bei der Nibelungenbrücke in Linz? (6. Schulstufe)
Anmerkungen
Literatur
Zur Autorin
1. Herleiten und Anwenden von Formeln
a) Flächeninhalt von Dreiecken (7. Schulstufe)
b) Der Flächeninhalt des Parallelogramms (7. Schulstufe)
c) Erarbeitung der Flächeninhaltsformel für den Kreis (8. Schulstufe)
d) Oberflächenformel des Drehzylinders (8. Schulstufe)
2. Lehrausgänge im Mathematikunterricht
a) Wie hoch ist der Linzer Dom? (6. Schulstufe)
b) Wie breit ist die Donau bei der Nibelungenbrücke in Linz? (6. Schulstufe)
Anmerkungen
Literatur
Zur Autorin
EINLEITUNG
In meinem Mathematikunterricht möchte ich den Schülern und Schülerinnen keine ´Fertigprodukte´ liefern, sondern ihnen verschiedene Wege anbieten, um selbständig mathematisches Wissen zu erarbeiten. Dies entspricht einer wichtigen Forderung des Lehrplans 2000.
Beim Aufbau meines Unterrichts versuche ich neben den Lehrplanforderungen auch Regeln der Lernbiologie, die von F. Vester in seinem Buch " Denken, Lernen, Vergessen" beschrieben wurden, zu berücksichtigen.
"Lernerfolg und gute Schulleistungen liegen nicht nur in absoluter Intelligenz des einzelnen (der Fähigkeit zu behalten, zu kombinieren, Zusammenhänge zu erkennen), sondern oft an der relativen Übereinstimmung zweier Muster, an der Möglichkeit oder Unmöglichkeit der Resonanz. Ein Kind lernt immer von einem "Partner", sei es von einem Lehrer, von dem Schulbuch, von Mitschülern. Und es lernt dann gut, wenn es in seinem Partner sich selbst wiedererkennt, das heißt, wenn sein eigenes Assoziationsmuster mit dem des Partners in Einklang steht. ...
Selbst der gleiche Wissensstoff, der gleiche Informationsinhalt, kann deshalb ganz unabhängig von seiner Schwierigkeit je nach der Art des Denkmusters, in dem er angeboten wird, einmal sehr schwer und einmal sehr leicht erfasst werden. ...
Je mehr Arten der Erklärung angeboten werden, je mehr Kanäle der Wahrnehmung benutzt werden, desto fester wird das Wissen gespeichert, desto vielfältiger wird es verankert und auch verstanden, desto mehr Schüler werden den Wissensstoff begreifen und ihn später auch wieder erinnern." 1)
Einige Beispiele aus dem Schulalltag:
1) HERLEITEN UND ANWENDEN VON FORMELN
a) Der Flächeninhalt von Dreiecken: (7. Schulstufe)
Lehrplanforderung:
"Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte berechnen können," 2)
Rahmenbedingungen:
Eine heterogene Gruppe mit elf Schülern der drei Leistungsgruppen.
Material:
11 Arbeitsblätter ( DIN A 5) mit drei gleichen Dreiecken in verschiedenen Lagen.
Zwei Kopien des Arbeitsblattes auf OHF.
11 Übungsblätter ( DIN A 4)
Schere, Klebstoff, Lineal, OH-Stifte in Farbe, Farbstifte
Vorkenntnisse:
Flächeninhaltsformel für das Rechteck und das rechtwinkelige Dreieck.
Jeder Schüler erhielt das Arbeitsblatt (DIN A5) mit drei Dreiecken mit unterschiedlicher Basislänge ausgehändigt und dazu folgenden Arbeitsauftrag:
- Berechne gemeinsam mit deinem/deiner BanknachbarIn den Flächeninhalt dieser Dreiecke. Miss dazu die entsprechende Längen in der Zeichnung ab.
- Beschreibe anschließend in Wortform - wie die "alten MathematikerInnen" - deinen Gedankengang.
- Stelle eine allgemein gültige Formel für das Berechnen des Flächeninhalts von Dreiecken auf.
| Nach ca. 20 Minuten wurden die Ergebnisse gesammelt und am OH zusammengefasst. Jedes Paar hatte zu diesem Zeitpunkt zumindest den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet und eine Formel aufgestellt, andere bereits den ganzen Arbeitsauftrag erfüllt. Die meisten Schüler ergänzten das Dreieck zu einem doppelt so großen Rechteck. Durch Zerschneiden des Dreiecks zeigten sie, dass die ergänzte Figur gleich groß ist wie das zu berechnende Dreieck. Dazu wurden von Schülern z. B. folgende Formel aufgestellt. |
Abb.
1:
Flächeninhalt von Dreiecken:  |
Abb.
2:  |
| Andere SchülerInnen erarbeiteten die Formeln auf folgende Weise: | Abb.
3: |
Am OH wurde zusammengefasst und anhand der drei vorgegebenen Dreiecke erläutert, dass zum Bestimmen des Flächeninhalts eines Dreiecks die Grundlinie mal der dazugehörigen Höhe multipliziert wird (das ergibt den Flächeninhalt des dem Dreieck umschriebenen Rechtecks) und anschließend durch zwei dividiert wird. Nun sollte es aber noch zu einem "Aha - Erlebnis " kommen. Ich hatte die drei auf Folie kopierten Dreiecke ausgeschnitten und legte sie so übereinander, dass die Seite a, b und c übereinander lagen und siehe da, die Dreiecke waren deckungsgleich. Zuvor hatten wir eine Formel für den Flächeninhalt jedes der drei Dreiecke aufgestellt. Nun sahen wir, dass die drei Dreiecke ident waren. Wir zogen den Schluss, dass der Flächeninhalt des Dreiecks wie folgt errechnet werden kann:
Abb. 4: |
Abb. 5: Der Flächeninhalt des Dreiecks:  |
1. Bereichne den Flächeninhalt
des Dreiecks auf mindestens eine Art.
2. Von einem Dreieck ist der Flächeninhalt A=80cm2
und die Seite a=16cm bekannt. Berechne die zugehörige Höhe!
3. Von einem dreieckigen Grundstück kennt man den Flächeninhalt
A=20a und eine Höhe h=25m. Berechne die zugehörige Grundlinie.
4. Was kannst du über den Flächeninhalt folgender Dreiecke sagen?
5. Gilt die Formel A=(g.hg)/2 auch für ein stumpfwinkeliges Dreieck?
6. Zeichne ein spitzwinkeliges, ein rechtwinkeliges und ein stumpfwinkeliges
Dreieck mit c=4,5cm und hc=3,5 cm (möglichst
in eine Zeichnung).
Was kannst du über
den Flächeninhalt dieser Dreiecke aussagen?
7. Welchen Flächeninhalt besitzt das größte Dreieck, das
aus einem Quadrat mit
5 cm Seitenlänge ausgeschnitten wird?
8. Stelle eine Formel für den Flächeninhalt der Dreiecke auf.
Verwende dabei die angegebenen Bezeichnungen.3)
a) wenn die Grundlinie verdoppelt wird und die zugehörige Höhe gleich bleibt,
b) wenn die Grundlinie gleich bleibt und die zugehörige Höhe verdoppelt wird,
c) wenn die Grundlinie verdoppelt, die zugehörige Höhe aber halbiert wird,
d) wenn die Grundlinie und die zugehörige Höhe verdoppelt werden. 4)
|
Grundlinie
6 cm |
Höhe
4 cm |
Fläche
12 qcm |
|
| a) | |||
| b) | |||
| c) | |||
| d) |
Dabei zeichneten die Schüler die gewählte Seitenlänge und die dazugehörige Höhe in einer Farbe ein, bevor sie mit den Berechnungen starteten. Mit den Beispielen 2 und 3 wurde das Umwandeln der Dreiecksformel geübt. Dabei wurde großer Wert auf die exakte Bezeichnung der Längen gelegt.
Die Nr. 4 wurde gemeinsam erarbeitet. Die Erkenntnis, dass die vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben, da sie die gleiche Grundlinie und die gleiche Höhe besitzen (Schülermeldung) wurde beim Lösen der Aufgaben 5 und 6 angewandt. Wer rasch mit diesen Nummern fertig war löste die Nr. 7 in Einzelarbeit.
Ich habe einzelne Schüler gebeten ihren Gedankengang mit Hilfe einer Skizze zu veranschaulichen. Ähnliche Wege wurde gewählt:
| Vor dieser Unterrichtseinheit bzw. im Jahr zuvor hätten die Schüler die Aufgabe sicher so gelöst. Durch das Vergleichen der unterschiedlichen aber richtigen Lösungen wurde den Schülern klar, dass es zu dieser Aufgabe unendlich viele Lösungen gibt. |
Abb. 7  |
b) Der Flächeninhalt des Parallelogramms: (7. Schulstufe)
Lehrplananforderung:
| "
Formeln für Flächeninhalte von .... Vierecken begründen und damit
Flächeninhalte berechnen können, Umkehraufgaben lösen können, ...
"5) Der Lehrplan 2000 fordert unter dem Punkt Unterrichtsziele und Unterrichtsinhalte: Produktives geistiges Arbeiten, insbesondere: Kombinieren vertrauter Methoden; Anwenden bekannter Verfahren auch in teilweise neuartige Situationen; ... 6) Dazu F. Vester : " Neues alt verpacken: Unbekannt = feindlich = Stress. Die dadurch ausgelösten negative Hormonlage blockiert ... das Denken und Kombinieren und verhindert, dass sich der Stoff assoziativ verankert. Vertraute "Verpackung" mildert dagegen die Abwehr gegen das Unbekannte und vermittelt darüberhinaus durch das Gefühl des Wiedererkennens ein kleines Erfolgserlebnis, und der Trend geht in Richtung lernpositive Hormonlage " 7) |
 Abb. 8: Flächeninhalt von Parallelogrammen |
c) Erarbeitung der Flächeninhaltsformel für den Kreis: (8. Schulstufe)
Vorangestellt eine weitere Regel der Lernbiologie von F. Vester:
"Lernspaß Spaß und Erfolgserlebnisse sorgen für eine lernpositive Hormonlage und damit für ein reibungsloses Funktionieren an den Synapsen und des Kontaktes zwischen den Gehirnzellen. Daher werden mit positiven Erlebnissen verknüpfte Informationen besonders gut verarbeitet und verstanden und ebenfalls wieder vielseitig (und somit "anwendungsbereit") im Gedächtnis verankert." 8)
Rahmenbedingungen: Heterogene Gruppe: 23 Schüler aus den drei Leistungsgruppen. Erarbeitung der Formel in Gruppen mit vier Schülern.
Vorkenntnisse der Schüler:
Umfangberechnungen des Kreises.
Material:
Pro SchülerInnen: Arbeitsblatt mit den Arbeitsaufträgen und Platz zum Anschreiben des Lösungsweges.
Pro Gruppe: Einen ausgeschnittenen Kreis mit dem Radius 5 cm (gelb), einen ausgeschnittenen Kreis mit dem Radius 5 cm (rosa), der zu acht Sektoren gefaltet wurde.
In Vierergruppen gingen die Schüler an die Problemlösung heran. Jede Gruppe erhielt vorerst den ungefalteten Papierkreis mit dem Radius 5 cm. Der Auftrag lautete:
Bestimme den Flächeninhalt des Papierkreises.
Anleitung:
- Zerschneide den Papierkreis und verwandle ihn in eine Figur, deren Flächeninhalt du schon berechnen kannst.
- Beschreibe deinen Gedankengang in Worten.
- Stelle eine allgemein gültige Formel für der Flächeninhalt des Kreises auf, wenn der Radius (r) gegeben ist!
Schüler, die weitere Hinweise zum Lösungsweg benötigten, erhielten einen zusätzlichen, gleich großen Kreis, der in acht Sektoren gefaltet war. Diese Hinweise reichten aus, dass jede Gruppe eine Formel für den Flächeninhalt des Kreises aufstellen konnte.
Drei verschiedene Lösungswege wurden von Schülergruppen erarbeitet
|
Variante
1
 |
Variante
2
 |
Variante
3
 |
d) Oberflächenformel des Drehzylinders: (8. Schulstufe)
Rahmenbedingungen:
22 Schüler der drei Leistungsgruppen, Partnerarbeit
Material:
Arbeitsblatt (DIN A5), drei DIN A 4 Blätter pro Paar.
Lehrplanforderungen:
Formeln für die Berechnung der Oberfläche ... von Drehzylindern ... erarbeiten und nutzen können. 9)
Auch diese leicht verständliche Formel für die Oberfläche (und Umkehrungsaufgabe) des Drehzylinders erhielten meine Schüler nicht als "Fertigprodukt" präsentiert. Durch den folgenden, vielleicht etwas ungewöhnlichen Arbeitsauftrag erarbeiteten die Schüler "spielerisch" die erforderlichen Kenntnisse.
Drehzylinder
1a) Bastle aus einem DIN A4 Blatt einen Zylinder mit dem Radius r = 3 cm und der Höhe h = 7 cm!
b) Schreib dazu eine Bastelanleitung!
c) Berechne mit den gegebenen Zahlen, wie viel cm2 Papier du für diesen Zylinder benötigst (ohne Verschnitt).
d) Drücke den Papierverbrauch mit Variablen aus.
2a) Bastle aus einem DIN A4 Blatt einen möglichst großen Zylinder ohne Grund.- und Deckfläche. Achtung, es sind zwei Lösungen möglich!
b) Welchen Radius hat die dazugehörige Grund.-bzw. Deckfläche? ( Zwei Lösungen)
2. LEHRAUSGÄNGE IM MATHEMTIKUNTERRICHT
a)
Wie hoch ist Linzer Dom?
Messen von Neigungswinkeln, Anfertigen maßstabgetreuer Zeichnungen
Ein weiterer Punkt von F. Vesters Regeln der Lernbiologie lautet: Verknüpfung
mit der Realität: Den Lerninhalt möglichst viel mit realen Begebenheiten
verbinden, so dass er "vernetzt" verankert wird. Werden reale Erlebnisse
angesprochen, so wird der Lerninhalt trotz zusätzlicher Information eingängiger.
Bei der anschließenden Verfestigung des Gelernten (Konsolidierung) wirkt
dann die reale Umwelt als unentgeltlicher und unbemerkter "Nachhilfelehrer",
weil sie das Gelernte zum Mitschwingen bringt
Vorkenntnisse der Schüler:
Maßstabgetreue Konstruktionen, Winkel zeichnen und messen, Kenntnisse
über Normalwinkel.
| Material pro
Gruppe: 1 GZ - Dreieck, das üblicherweise für Tafelkonstruktionen verwendet wird. Wollfaden oder feine Schnur, eine Holzperle zum Beschweren des Fadens, Klebeband, Arbeitsblatt und Schreibunterlage Maßband (50m) Rollmeter für jede Gruppe ( Mindestlänge von 150 cm) ev. Theodolit |
 |
Rahmenbedingungen:
Die 22 Schüler der drei Leistungsgruppen in vier Gruppen geteilt, 15 Studenten des Studiengangs zur/m HauptschullehrerIn (1. Semester).
Ort:
Park neben dem Neuen Dom in Linz.
Herstellen der Meßgeräte:
Der Wollfaden wird an der Rückseite des Dreiecks mit einem Klebestreifen fixiert.
Ausgestattet mit den oben erwähnten Materialien machten wir uns nach einer kurzen Besprechung über die Vorgangsweise auf den Weg zum Neuen Dom.
| Vorort wurde die Turmhöhe geschätzt, weiters wurden die Standlinien in 40m bis 60m Entfernung zum Domturm (Mitte der Basisfläche) festgelegt und mit Kreidestrichen markiert. Nun ging es ans Messen des Neigungswinkels. In jeder Gruppe wurde noch einmal besprochen, welche Winkel Normalwinkel sind. Beim Ablesen der Winkel war besondere Vorsicht geboten, da die Zahleneintragung auf der GEO- Dreieck Skala für unseren Zweck genau verkehrt war. Diese Tatsache war aber nach einer kurzen Erklärung kein Problem. Beim Winkelmessen visierte jeweils ein Schüler pro Gruppe die Turmspitze an. Die anderen Schüler lasen den Neigungswinkel ab. |
 |
Parallel zu den Schülermessungen zeigte ein Student jeder Schülergruppe den Umgang mit dem Theodoliten und bestimmte gemeinsam mit den Schülern den Neigungswinkel an den verschiedenen Standlinien. In der Schule wurde eine maßstabgetreue Zeichnung angefertigt. Dabei zeichneten die Schüler parallel zur vorgegebenen Grundlinie eine Parallele im Abstand ihrer Augenhöhe ein. Nun galt es noch den Winkel genau einzutragen und schon konnte die Turmhöhe im Maßstab 1:1000 abgelesen werden.
b) Wie breit ist die Donau bei der Nibelungenbrücke in Linz? (6. Schulstufe)
Messen von Winkeln , Anfertigen maßstabgetreuer Dreieckszeichnungen
Material:
Theodolit, 50 Meter Maßband
pro Schüler: Schreibunterlage, DIN A4 Blatt Papier, 2 Geodreiecke, Schreibzeug
Vorkenntnisse:
Zeichnen und Messen von Winkeln, Anfertigen maßstabgetreuer Zeichnungen, Dreieckskonstruktionen.
Ausgestattet mit den oben genannten Gegenständen machten wir uns auf den Weg zur Donau. Vorort, einem unbefahrenen und unmittelbar neben der Donau verlaufenden Weg, besprachen wir die genaue Vorgangsweise.
Bevor wir zu Messen begannen sollte jede Schülergruppe die Breite des Flusses schätzen und auf einem Blatt notieren.
Um die Genauigkeit der Zeichnung zu erhöhen wählten wir eine möglichst lange Standlinie und einigten uns auf 80 m.
Nun tauchte das erste Problem auf: wie kann man mit einem 50m langen Maßband eine möglichst gerade 80m lange Strecke abmessen.
| Die Lösung: Zwei
Schüler stellten sich parallel zum Uferverlauf im Abstand von 50m
auf. Ein dritter Schüler stellte sich im Abstand von weiteren 30m
so auf, daß ein Betrachter nur einen Schüler sah. (siehe Skizze) Am
gegenüberliegenden Ufer wurde ein auffälliger Punkt bestimmt. Vor dem Messen der Winkel schätzten die Schüler die Winkel an den Endpunkten der Standlinie zum vereinbarten, gegenüberliegenden Punkt und fertigten eine Skizze des Sachverhaltes an. |
 |
 |
Die maßstabgetreuen Zeichnungen konnten Vorort angefertigt werden (ausreichend Zeit, warmes Wetter, Auflagemöglichkeit). Jede Gruppe mußte einen geeigneten Maßstab festlegen, um die Standlinie und die geschätzte Donaubreite auf einem DIN A 4 Blatt aufzeichnen zu können. Gruppen, die die Donaubreite sehr groß einschätzten (bis zu 300m) wählten den Maßstab 1:2000, andere den Maßstab 1:1000. Die maßstabgetreue Donaubreite wurde durch Abmessen der Dreieckshöhe bestimmt. |
ANMERKUNGEN:
1) vgl. Fredric Vester: Denken, Lernen, Vergessen; S.41
2) LP 2000, S. 92
3) Lewisch, Ingrid: Mathematik 3, Verstehen, Üben, Anwenden, S. 109
4) Lewisch, Ingrid: Mathematik 3, Verstehen, Üben, Anwenden, S. 110
5) siehe: Lehrplan 2000, S.9
6) Lehrplan 2000, S. 85
7) Fredric Vester: Denken, Lernen, Vergessen, S. 141
8) Fredric Vester: Denken, Lernen, Vergessen, S. 142
9) vgl. Lehrplan 2000, S. 93
10) vgl. Fredric Vester: Denken, Lernen, Vergessen, S. 143
LITERATUR:
- Lehrplan 2000
- Vester, Fredric: Denken, Lernen, Vergessen. Was geht in unserem Kopf vor, wie lernt das Gehirn, und wann lässt es uns im Stich? dvt Sachbuch, 13. Auflage, 1986
- Lewisch, Ingrid: Mathematik 3, Verstehen, Üben, Anwenden. R. Oldenbourg Verlag, Wien, 1987
ZUR AUTORIN:
Beatrix Hauer, geb. 1966, Adalbert Stifter Übungshauptschule der PA der Diözese Linz, Salesianumweg 5, 4020 Linz. Beruflicher Werdegang: Von 1985 bis 1988 Studium an der PA der Diözese Linz. 1988 Ablegung der Lehramtsprüfung für HS und PL in den Fächern M, BU und Informatik. Seit 1988 Lehrerin an der Adalbert Stifter Übungshauptschule der Diözese Linz. Von 1993 bis 1999 Lehrtätigkeit Im Bereich der Mathematik Lernhilfe und Gesundheitslehre im Sozialpädagogischen Kolleg an der PA der Diözese Linz. 1999 Ernennung zur Professorin. Seit 1999 Lehrtätigkeit im Bereich der Mathematik Didaktik an der PA der Diözese Linz. Publikationen: COMPUTER IM MATHEMATIKUNTERRICHT, Aufbau eines Formelverständnisses und Übertragbarkeit von "Alltagsbeispielen" in die Tabellenkalkulation, Erziehung und Unterricht, Österreichische Pädagogische Zeitschrift, 4/93 MATHEMATIKDATEI, Lernzielorientierte Aufgabensammlung auf Disketten, 5.-8. Schulstufe, Wolff-Dietrich Gasztner, Beatrix Hauer, Ewald Forster, Veritas MATHEMATIK ENTDECKEN 1. - 4. Schulstufe, Pirklbauer Josef, Hauer Beatrix, Neuwirt Erich, Sigmund Walter, 1998, Veritas. LEHRERHANDBUCH zum Lehrbuch: Ottenschläger u.a.: Zum Beispiel Mathematik 1, 5. Schulstufe, 2001, Veritas LEHRERHANDBUCH zum Lehrbuch: Ottenschläger u.a.: Zum Beispiel Mathematik 2, 6. Schulstufe, 2001, Veritas DIFFERENZIERTE ÜBUNGSBLÄTTER auf CD zum Lehrbuch: Ottenschläger u.a.: Zum Beispiel Mathematik 1, Veritas, 2001 DIFFERENZIERTE ÜBUNGSBLÄTTER auf CD zum Lehrbuch: Ottenschläger u.a.: Zum Beispiel Mathematik 2, Veritas, 2001
